Tittelen til årets siste episode av Spøkelser etter avdøde størrelser er en lek med de svenske og norske ordene for brøk eller brøker. På svensk heter dette bråk både i entall og flertall, men bråk har også den samme betydningen som det norske ordet bråk. Så i episoden blir det rett og slett litt krangel om brøker. Det er Niclas Larson som har en semistrukturert samtale med de svenske forskerne Ola Helenius, professor ved Göteborgs universitet, og Linda Ahl som arbeider på Nationellt centrum för matematikutbildning (NCM), som man kan si tilsvarer det norske Matematikksenteret. Ola og Linda har både forsket på og designet undervisning om brøker, så de har god kunnskap om dette og både interessante og revolusjonerende ideer om hvordan man kan og bør undervise om brøker.

[Automatic captions by Autotekst using OpenAI Whisper V3. May contain recognition errors.]

Hej och välkommen till en ny episode av Spøkelser efter avdøde størrelser.

Det är idag fem dagar kvar till jul och jag har tänkt att laga en episode som heter Brøk eller bråk till jul.

Och det är väl en lek med ord då för att brøk på norsk heter bråk på svensk så ordet bråk har två betydningar på svensk.

Jag som leder episoden är som vanlig Niclas Larson.

Till min hjälp här i den här episoden har jag två nya gäster och vilka är det?

Jag heter Linda Ahl och jag är forskare och jag håller främst på med storskalig undervisningsutveckling på grundskolan.

Jag har i bagaget 15 års erfarenhet som gymnasielärare i matematik också.

Jag jobbar på Göteborgs universitet på nationellt centrum för matematikutbildning.

Jag heter Ola Helenius.

Jag är från början matematiker.

Jag har diskuterat i abstrakt algebra och multiplikativ talteori.

Men sen har jag jobbat 20 år på samma ställe där Linda jobbar nu med matematikutveckling av olika slag.

Men nu är jag professor på en annan institution vid Göteborgs universitet.

Jag är professor i didaktik med inriktning mot matematik.

Jag håller också på med undervisningsutveckling både storskaligt men det är också väldigt detaljerat.

Så jag brukar säga att jag är typ undervisningsdesigner.

Ja, det hördes ju väldigt spännande ut.

Men då ska vi gå in på det här med brøker i flertall.

Linda, du kan väl begynna och säga något om vad du tänker om undervisning om brøker.

Först och främst så kan bråk delas in på lite olika sätt.

En viktig egenskap hos bråk är att det är polysemiskt.

Det betyder alltså att samma symbol har olika men närbesläktade betydelser.

Vi tänker på det som fyra delar.

Vi tänker på det som förhållande, tal på tallinjer, kvot, alltså att man ska utföra en division, och som operator, ett tal som multiplikativt skalar ett tal eller uttryck, vilket som helst, till ett annat uttryck, vilket som helst.

Den här indelningen i fyra komponenter skiljer sig från vissa forskares indelning som har del av helhet som en egen komponent men vi lägger den under förhållande i största allmänhet.

Och det är väl förhåll då på norsk?

Precis och det som är viktigt att tänka på det är att vi tänker på det som en representation precis som decimalformen är representation och procentformen är representation.

Det är så att i Sverige begränsar man sig till att tala om rationella tal i den här representationen.

Det tycker vi inte är så bra, men det kommer jag återkomma till senare.

Ola, vad tänker du?

Nej, men jag är ju egentligen mest intresserad av de här yngre barnen också.

Och vad menar du med yngre?

Jag menar egentligen då från sexåringarna och uppåt.

Alltså det är intressant med de ännu yngre också.

Men det är en helt annan historia.

Som ni har i Norge, då är ju sexåringarna årskurs ett.

Det kommer vi också på.

Men jag har jobbat mycket med förskoleklass och så.

Men samtidigt har jag samma perspektiv som Linda på vad som händer över tid, alltså över tio års tid kan man säga, alltså över hela skoltiden och kanske lite till.

Och jag tror ju då att många av de sakerna som man gör tidigt, de är väldigt enkla.

Det är liksom inga problem med brøker då.

Och först på trinn och andra trinn och tredje trinn.

När man nu börjar med det här.

För att man gör ju väldigt enkla saker, nämligen del av helhet då.

Jag vet inte vad det heter på norska.

Nej, men det går bra på svensk.

Ja, som part-hole-arrangemang.

Med bilder då, till exempel cirklar eller rektanglar.

Eller då del av antal, där man har ett antal saker.

Några har färg och några har inte färg och så vidare.

Det här är ganska lätt och det är oproblematiskt i stort men det har jätte allvarliga konsekvenser framåt för det ger de här barnen en helt felaktig bild av hur bråk fungerar som inte är utvecklingsbar och som i flera steg kommer att behöva bytas ut och justeras.

Och det är enligt min undervisningsfilosofi så är det en jättedålig grej om du tvingar elever att behöva ändra tankesätt.

Varje gång kostar det på och det minskar deras motivation och tilltro till sig själva och så vidare.

Så man vill egentligen göra saker som har så lång räckvidd som möjligt och det här delar av helhet har inte.

Det är liksom ingen multiplikativ tanke.

Bråk är en multiplikativ idé.

Så om jag tolkar det riktigt så är det egentligen inte fel det som man lär tidigt, men problemet är att när man ska vidare så blir det en begränsning om man har begynt på den måten.

Ja, det är inte fel, det är bara väldigt dåligt.

Det kommer att bli dåligt senare.

Det kommer bli dåligt senare.

Vi har en teori för matematisk progression som bygger på en viss forskares vergnåsgrejer.

Där kan man förklara varför det blir dåligt.

Det har att göra med att något i hans teorier heter invarianter.

Sånt som verkar vara sant i den representationsmodell som du använder.

Alltså saker som förblir detsamma kan man säga på något sätt.

Och i den här delen av helhetsmodellerna och delen av antalsmodellerna.

Det är en massa saker som verkar vara sanna och funkar på ett visst sätt.

Som inte kommer förbli sanna sen när du går vidare.

Och det är dåligt att ha för mycket sånt.

Linda du har säkert något att tillägga.

Ja, framför allt så har vi gjort läromedelsanalyser då vi startar från årskurs ett och fortsätter ända upp på gymnasiet.

Där kan vi se att bråk, den här helhetsidén om bråk, det är den mest ointressanta sidan av bråk.

Den har man inte så mycket nytta av sen.

Men den introduceras hårt, vilket gör att eleverna, den utmanas inte i vissa läromedel förrän i årskurs sju.

Då det dyker upp ett bråk, ett ojämtligt bråk, det säger ni på norska, eller?

Jag är lite usäker men talet är större än en.

Mm, det är klart att för eleverna så ska vi det här för att de har cementerat en bild av att språk är någonting som är mindre än ett.

Och bara genom att hålla på ensidigt med det här länge så har man skapat, det blir undervisningsskador.

Istället för att lära eleverna så hindrar vi dem i deras utveckling.

Och det är väldigt tydligt att det introduceras sent.

Och sen är det också, det finns en bristande produktion.

Man säger det går bra i början för eleverna med bråk när de ska titta på att kunna ta ut delar när vi nästan bara tittar på del av helhetsförhållandet.

Det snappar de upp.

Men vi ville kunna använda framförallt bråk som operator för det behövs för att kunna utföra proportionella resonemang.

Men i svenska läromedel så introduceras inte det begreppet alls.

Och sen har man mage att säga att eleverna

är dåliga på bråk när de inte har fått undervisning om de intressanta delarna av det.

Kan du förklara lite, vad menar du med bråk eller brøk som operator?

Absolut, nu ska ni göra ett tankeexperiment här och då säger jag vad ska du multiplicera åtta med för att få sju?

Här har jag utmanat två missuppfattningar i en smäll.

Dels att när man multiplicerar så blir det större.

Det är jättekonstigt för många att man skulle kunna multiplicera åtta och hamna på sju.

Så att produkter blir sju, ja.

Ja, och sen så sitter då majoriteten i en vanlig sal, sitter och letar efter ett tal i decimalform.

För den är väldigt framträdande i undervisningen i Sverige.

Decimalformen är jättebra när man ska addera ihop saker.

Den är ju helt värdelös när vi kommer till multiplikation.

Utan det som vi söker, det är bråkkonstruktionen, sju åttondelar.

Och det här gör att 70 procent av det vi gör i grundskolan handlar om proportionella resonemang.

Vi har en likformighetsförhållande mellan två kvantiteter.

Vi söker en okänd kvantitet, missing value-uppgifter.

Och vet man hur man skapar en operator i bråkform, då kan man alltid lösa den här.

Om man alltid är dit jag ska, då åker det upp i toppen och det vi är bra med åker ner i botten.

Och vi dividerar inte ut det här till ett tal i decimalform.

Det ger eleverna jättekraftfulla verktyg.

Men det här berövar vi dem genom att inte ha en systematisk undervisning, varken om bråk eller proportionella resonemang.

Men bråken är en stor del av att hantera proportionella resonemang.

Då ska jag utfordra dig lite här.

Du sa från åtta till sju.

Och då går det ju faktiskt att få ut ett exakt nöjaktigt decimaltal.

Så är det ett dåligt exempel att ta från åtta till sju?

Hade det varit bättre från sju till sex?

Det som är roligt med det här är att man först gör det.

Ibland kan ju någon hitta det decimaluttrycket.

Men okej, nu ska vi göra från sju till åtta.

Ja.

Och då går det ju inte på något bra sätt.

Så det som är bra det är ju att man först går neråt.

Så man får två problem i det här.

Och sen kan man vända på det.

För att om jag nu tar Lindas ord ur munnen på henne.

Att det här är då sju åttondelar.

Det hänger ihop med att sju åttondelar kan ses lite som sju stycken en åttondel.

En åttondel kan ses i stort sett som en division med åtta.

Så det börjar med åtta.

Så det här är en process av skalningar.

Så tänker vi på det.

Så det ligger väldigt nära en idé av skalningar.

Och det är en jätteeffektiv sak att tänka på.

Skalningar är väldigt lätt att förstå helt egentligen.

Så då har du åtta och sen så skalar du ner det till ett med en åttondel.

Och sen så multiplicerar du upp det till sju.

Det är liksom helt självklart, det finns en väldigt enkel förklaring som man kan få små barn att förstå faktiskt.

Vi gör sådana här grejer i årskurs två till och med i en specifik uppgiftstyp då.

Ja.

Linda?

Vi har gjort det här på mellanstadiet i fem kommuner.

Då lär vi ut det här och skapa en bråk som operator.

Då börjar vi med sådana här, vad ska man multiplicera 8 med för att få 7?

Vad ska man multiplicera 11 med för att få 13?

Sen säger vi, vad ska vi multiplicera pi med för att få e?

Vi vet inte vad E är.

Det spelar ingen roll, säger vi.

Matematiken är förutsägbar.

Det är alltid likadant.

Man kan lita på matematiken.

Jaha, okej, säger de.

Då är det väl E pidgedelar.

Sen går vi över till att dra jämförelse till procent, höjningar och sänkningar.

Då har vi kanske att vi ska gå upp 20 procent.

Det blir 120 hundradelar när vi går från 100 till 120 procent.

Och det blir 70 hundradelar om vi ska ha en minskning med 30%, alltså vi går från 100 till 70.

Och sen visar vi också vad ska man multiplicera 1,2 med för att få 0,7.

Och då sätter de ihop de 0,7 1,2 delar.

För i Sverige har vi problem med att eleverna inte litar på matematiken.

De ser den som lösa öar och det är olika grejer i varje kapitel och det är svårt att få ett sammanhang.

Men som du märker har jag inte begränsat bråk till rationella tal.

Utan bråkkonstruktionen kan göras med alla sorts tal, alla sorts former.

Och då krymper matematiken.

Man kan alltid göra så här.

Det kan vara långa uttryck också, inte bara tal.

Du kan ta en parentes och tjoffa in allt möjligt.

Du kan fortfarande skala den till vilket annat uttryck som helst.

Det är en väldig styrka för eleverna, både när de ska lösa likningar, ekvationer, och när de ska utföra proportionella resonemang.

Och göra mer algebraiska grejer senare på gymnasiet också.

Jag har två käpphästar.

Undervisa bråk som operator och begränsa inte bråkformen till rationella tal i formen hela tal.

För att det här är ett påhitt för skolmatematiken.

En representationsform, den kan ju såklart existera för alla talformer.

Ja då blir det ju icke längre en brøk.

En brøk är väl per definition ett tal med heltal i teller och nämner men det går ju att skriva, det går ju att dra vidare till andra tal.

Jag håller inte med om att det är per definition.

Utan det är per definition om man begränsar sig till rationella tal.

Men det är man väldigt otydlig med i skolmatematiken.

Så om man säger att vi kan använda det för alla tal.

Om vi bara tänker på det som en representation.

Har vi ett bråksträck, då är det ett bråk.

För vad skulle det andra vara?

Vi tar till exempel pi-edjedelar.

Skulle inte det vara ett bråk då?

Det avhänger ju på hur man definierar brøk, men där är vi ju också så att vi brukar ordet eller begreppet brøk eller bråk på den måten som du föreslår.

När vi kommer upp på mer avancerad matematik så kan vi prata om brøk i princip då det är ett rationalt uttryck.

Bara för att vi vet att en brøk är då vi har teller och nämner.

Så det är väl möjligt att träcka det vidare tänker jag på den måten.

Ola?

Det är ju också så att i forskningen, till och med några av dem som har jobbat med det här mest, det är väldigt otydligt med vad de menar med bråk.

Så det finns olika idéer.

Men vårt perspektiv är att det helt enkelt skulle vara väldigt mycket bättre-

När vi sa bråk så menar vi bråkrepresentationen.

Vi har till och med myntat ordet bråksystemet.

Det är ett symbolsystem, ungefär som positionssystemet.

Så fort du har uttryck på den här formen, då kommer vissa typer av regler gälla.

Och de är väldigt lätta, det är inte särskilt många och det är ganska lite som du behöver kunna om den här representationsformen för att kunna göra otroligt mycket olika saker.

Och genom att begränsa det till att bara vara just de typerna av bråk som representerar nationella tal

Alltså, varför?

Varför skulle man vilja det?

Det kanske råkar vara så i vissa läromedel och för vissa forskare, men det borde helt enkelt ändras.

Så att man jobbade mer med att den här formen lyder under vissa regler.

Vi kan förklara dem i jätteenkla fall med heltal, men det går jättelätt att gå över till andra talformer.

Men jag kan också tänka mig att det är någon sorts missuppfattning för att nu definieras språk i skolböckerna som ett rationellt tal som kan skrivas med hela talet, eller jag nämner det.

Men det betyder ju inte att man måste göra det.

Om vi har en halv, vi hade ju lika gärna kunnat skriva 0,1-0,2-delar.

Det kan ju fortfarande skrivas som hela tal, men man måste ju inte göra det.

Och i lite skarpare definitioner.

Både i forskning och i böcker högre upp står det att ett bråk kan skrivas på form av täljarnämnare och nämnaren är skilt från noll.

Om man begränsar bråkrepresentationen till rationella tal så ska de kunna skrivas som hela tal.

Det är ju en korrekt definition och sen vet jag inte var det har tappats bort för att det här begränsar eleverna väldigt mycket för de kan ju inte vara säkra på att bråkregler gäller som till exempel en tal eller uttryck gånger sin inverse är 1

Ett uttryck dividerat med samma uttryck, också ett.

Sådana saker som är väldigt användbara både för förkortning och förlängning av bråk och för ekvationslösning, likhetslösning och för proportionella resonemang.

Där behöver vi veta lite på matematiken att samma konstruktioner gäller hela tiden.

Och det berövar vi eleverna av en mycket oklar anledning faktiskt.

Det är som att vi vill dem illa.

Ja, eller att vi vet bättre, rätt och slett.

Men jag kan säga att det här är en typisk grej för att om man tittar på en typisk progression, jag gissar att det ser ungefär likadant ut i Norge som i Sverige och det är samma i USA och nästan hela världen.

Ja, men då gör man först lite enkla stambråk och sen så börjar man addera bråk.

Först med samma nämnare och sen med olika nämnare.

Och då behöver man ju kunna förkorta och förlänga.

Förkortning och förlängning är en multiplikativ idé.

Men man förklarar aldrig innan.

För att egentligen förstå det måste vi förstå det här med de här ettorna.

Alltså A genom A lika med ett och A gånger ett genom A lika med ett.

Det är två sorters ettor som finns.

För att när kan man förkorta eller förlänga ett bråk?

Det är egentligen alltid multiplikation med en etta på formen A genom A som man antingen sätter dit eller tar bort.

Men det man gör då i praktiken är att man ritar lite sådana här bilder istället.

Liksom med några sträck i en cirkel och ibland kan man sätta dit sträck, ibland kan man ta bort sträck.

Det är otroligt förvirrande och det finns ingen analytisk möjlighet att förstå det här som barn kan förstå.

Så därför skulle man behöva göra multiplikation först.

Och det skulle vara en enorm förändring som vi gör i vår undervisning, den som vi designar.

Men som skulle vara ett rätt stort hopp att göra på nationell nivå.

Men jag har skrivit en förslag till en ny kursplan för Sverige i matematik.

Och där står det här.

Vi får se om den blir antången.

Man ska först hålla på med multiplikativa grejer.

Ja det är ju lite revolutionerande i vart fall i förhållande till traditionen.

Om vi ska pröva att gå mot slutten av episoden.

Har ni någon mer käpphäst som ni vill ta upp?

Eller ska vi uppsummera?

Vi kan börja med Ola.

Jag har en sak då som har lite med de här bråkcirklarna och de delhelhetsmodellerna att göra.

Och det är att det man ska göra skulle jag vilja hävda.

Det är att man börjar med

språk på tallinjen.

Och det finns, vi har liksom utvecklat jätteenkla sätt att göra det.

Och med enkla menar jag att det bildar väldigt lätt genomförda lektioner där eleverna förstår.

Tricket är att man jobbar med tallinjen redan tidigare, alltså med heltal.

Och sen om du tänker dig, då har vi liksom en tallinje med streck på, som vanligt då.

Och sen så har vi nolla och sen sätter vi ut kanske två på det sjätte strecket efter noll.

Och så frågar vi, var är ett på den här linjen?

Var är tre, var är fem?

Då får man resonera.

Och sen, det man har gjort då är att man har skapat tredjedelar.

För att ettan kommer på tredje sträckan.

Och tredjedelarna är de här hoppen emellan då.

Och sen första frågan om bråk, när man har berättat lite.

Ja, vi kallar det här för tredjedelar.

Så här ser symbolen för tredjedel ut.

Då sätter man en pil på, låt oss säga, första tredjedelen efter två.

Vad heter det här talet?

Vilken position?

Här har vi en position på tallinjen.

Vad ska vi kalla det?

Och då kommer man både kunna jättesnabbt se att det är två och en tredjedel.

Det faller ut på en gång.

Men sen kan man också hoppa sina tredjedelar från nollan.

1, 2, 3, tredjedelar till 1, 4, 5, 6, tredjedelar till 2, 7 tredjedelar.

Så man får flera saker som senare blir allvarliga problem faktiskt när du börjar med helhetsmodellen.

Du får dem på köpet på egentligen första lektionen.

Ja, och där hamnar vi också på något som kanske många pröver att undgå, att vi får en brøk som oegentlig brøk, alltså att tellaren är större än nämnaren, men som ju senare i matematiken en självfölje.

Och det kanske då är bra att introducera det tidigt, att det må inte vara ett tal mellan 0 och 1.

Nej, och det som är lite ironiskt här, det är att den som har jobbat mest med det här i forskningen, det är liksom Sigler och hans forskargrupp.

Och de har ju verkligen visat att det är, till och med när man har traditionella mått på bråkförståelse som egentligen är additiva, så kommer de som har fått en tallinjebaserad undervisning att klara det bättre och vissa andra saker.

Men inte ens de gör ju tallinjen förbi ett.

Så de gör också ett ganska triviat fall.

Och de gör inga multiplicativa grejer heller.

Så det finns ganska mycket mer att hämta här faktiskt.

Vi får se vad som sker med den kursplanen som du håller på med och har föreslått.

Linda?

Jag tror faktiskt att ett tillfälle där vi får våra barn att tappa tron på matematiken det är när vi börjar förkorta och förlänga bråk.

För det har undervisats väldigt, väldigt dåligt.

Det är så att i böckerna så står det ofta

Förkorta bråket genom att dividera med fem i tälje och nämnare.

Det ger ju inte någon som helst förståelse för det handlar ju bara om division.

Och sen när det inte står vad man ska dela med, då kommer de elever som har god taluppfattning, de kommer känna på sig att de finns i samma multiplikationstabell och går att förkorta.

Men de andra barnen lämnas utan verktyg.

Om man istället bara berättar som det var, att man kan bara förkorta ett bråk om det finns gemensamma faktorer,

där man kan kvittera ut dem, a över a är lika med 1 och 1 är neutralt element i multiplikation.

Det lär man sig i tvåan när man håller på med ettans tabell.

Och jag kan förlänga ett bråk, det kan jag alltid göra för jag kan alltid multiplicera med 1 och jag får skapa en kreativ etta på formen a över a.

Tre tredjedelar, tio tiondelar, i edjedelar, exakt vad jag vill och multiplicera på utan att förändra värdet.

Det förklarar också varför en tredjedel är lika med tre niondelar.

För om vi tittar på det så ser det inte alls lika ut.

Så en bättre undervisning där, det skulle skapa mycket mindre förvirring och mycket mer säkerhet och glädje hos barnen när det gäller

matematik i allmänhet och kvotuttryck i synnerhet.

Ja, det är spännande detta och vi får se var det här landar till slut och hur våra lärarmidler kan ta tak i detta.

Har vi någon avslutning från någon av er?

Jag tycker att det här var en bra avslutning av Linda.

För det är inte bara hur mycket matematik lär man sig på sina tio år i grundskolan utan det är också hur känns det att vara elev?

Man vill ju att eleven ska lita på där den lär sig att den ska funka så länge som möjligt.

Ja, men då tackar jag dere Ola och Linda för deras bidrag här.

Och det är ju som jag sa strax jul och då betyder det också att det strax är nytt år.

Men tack för den här gången.

Tack till Ola och Linda.

Tack Niclas.

God jul, gott nytt år.